Definición de máximos y mínimos, punto de inflexión, punto critico, concavidad, criterio de la primera y segunda derivada

Máximos y mínimos de una función

Una función puede tener, en un determinado intervalo, máximos y mínimos. En el máximo la función alcanza el mayor valor, y en el mínimo, el menor.

Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando la altura es mayor que todas las alturas de los puntos que están alrededor.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su altura es menor que todas las alturas de los puntos que están alrededor. Un máximo se llamará absoluto cuando su alturas es mayor que la altura de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuando su altura es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.

punto de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura

Punto critico

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimizacion. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

Concavidad

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Criterio de la seunda derivada

Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función

f

es convexa en un intervalo abierto que contiene a

c

, y

f '(c)=0, f(c)

debe ser un mínimo relativo de

f

. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a

c

f '(c) = 0, f(c)

debe ser un máximo relativo de

f

Pasos de derivación

Ejemplo 1: Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)²– 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

Reglas de derivación de funciones algebraicas, trascendentales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Reglas de derivación de funciones algebraicas

Derivada de una constante es cero:

d (c) = 0

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad:

d (x) = 1

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones:

d (u+v-w) = dw + dv - dw

dx dx dx dx

La derivarda del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante:

d (cv) = c dv

dx dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera:

d (uv) = udv + udw

dx dx dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función:

d (vn) = nv n-1 dv

dx dx

Cuando y = x; se convierte en:

d (xn) = nx n-1

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante:

d (u) = 1 dw

dx c c dx

Reglas de derivación para funciones trascendentales

En lugar de g(x) escribiremos v, entendida esta como cualquier expresión de x, algebraica o trascendental. Además, al final agregaremos una expresión más de derivación de un caso particular de la derivación exponencial, en la que se tiene la derivada de una función u de x elevada a otra función v de x: